最小生成树

最小生成树是针对于无向图的，有向图没有这一概念，且这里边权值可以为负的

一般：稠密图——邻接矩阵 稀疏图——邻接表

  • 普利姆算法（Prim）

    • 朴素版Prim O(n^2) ==邻接矩阵==

      ​ 用于稠密图

    • 堆优化版Prim O(mlogn)

      ​ 用于稀疏图

  • 克鲁斯卡尔算法（Kruskal） O(mlogn)

    ​ 用于稀疏图

Prim()

输出最小生成树的权重之和

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510, INF=0x3f3f3f3f;
int n,m;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];
int prim()
{
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    int res=0;//最小生成树中所有边的长度之和
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int t=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(!st[j] && (t==-1 || dist[t]>dist[j]))
                t=j;
		
        if(i&&dist[t]==INF)	return INF;
        if(i)	res+=dist[t];
        //更新
        for(int j=1;j<=n;j++)	dist[j]=min(dist[j],g[t][j]);
        
        st[t]=true;  
    }
    return res; 
}
int main() 
{
    cin>>n>>m;
    memset(g,0x3f,sizeof(g));
    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        g[a][b]=g[b][a]=min(g[a][b],c);//可能会有重边所以取最小值
    }
    
    int t=prim();
    if(t==INF)	cout<<"impossible"<<endl;
    else	cout<<t<<endl;
    
    return 0;
}

Kruskal()

  1. 所有边按权重从小到大排序 O(mlogm)
  2. 枚举每条边a,b 权重为c
    • if a,b 不连通 将这条边加入集合中
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 200010;
int n,m;
int p[N];//并查集
struct Edge
{
    int a,b,w;
    
    bool operator< (const Edge &W)const
    {
        return w<W.w;
    }
}edges[N];
int find(int x)
{
    if(p[x]!=x)	p[x]=find(p[x]);
    return p[x];
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int a,b,w;
        cin>>a>>b>>w;
        edges[i]={a,b,w};
    }
    
    sort(edges,edges+m);
    
    for(int i=1;i<=n;i++)	p[i]=i;//初始化
    
    int res=0,cnt=0;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int a=edges[i].a, b=edges[i].b, w=edges[i].w;
        a=find(a), b=find(b);
        if(a!=b)
        {
            p[a]=b;
            res+=w;
            cnt++;
        }
    }
    
    if(cnt<n-1)	  cout<<"impossible"<<endl;
    else 	cout<<res<<endl;
    
    return 0;
}